Question

全微分方程求解

Answer 1

令v=u-gmm^2/p^2则原方程等价于：d^2v/da^2+v=0
方程两边同乘以2dv/da，可得：d/da[(dv/da)^2+v^2]=0
积分得：(dv/da)^2+v^2=c
要明白上面方程左边大于或等于零，因此限定了积分常数c大于或等于零。
不妨令c=k^2，则得(dv/da)^2+v^2=k^2
移项并开方可得：dv/da=±√(k^2-v^2)
再作代换，令w=v/k，则有：dw/√(k^2-w^2)=±da
令w=cosθ，带入化简可得：dθ=±da
积分得：θ=±a+a，a是积分常数
从而w=cosθ=cos(±a+a)=cos(a+b)，a=±b
从而v=kw=kcos(a+b)
从而u=v+gmm^2/p^2=kcos(a+b)+gmm^2/p^2
对于二阶微分方程，上面已经解完了；内含两个积分常数k和b。

Answer 2