Question

求一道高一简单的三角函数问题，谢谢

ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC 1.证明a^2,b^2,c^2成等差数列且0<B<=π/3 2.求函数y=2√3sin^2B+sin(2B+π/3)的最大值 把过程写一下，好的话适当加分

Answer 1

解：1.因为2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC，所以：
tanB=2tanAtanC/(tanA+tanC)
=2sinAsinC/(sinAcosC+cosAsinC)
=2sinAsinC/sin(A+C)
=2sinAsinC/sinB
则：cosB=sin²B/(2sinAsinC)=b²/(2ac)
（*）
(注：应用正弦定理)
又由余弦定理有cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
所以：a²+c²-b²=b²,即：2b²=a²+c²
所以:a²,b²,c²成等差数列
又由均值定理得：a²+c²≥2ac
（当且仅当a=c时取等号）
则：2b²≥2ac,即：b²/(2ac)
≥1/2
由（*）式知：cosB≥1/2
所以：0<B≤π/3
2.
y=2√3sin²B+sin(2B+π/3)
=√3*(1-cos2B)+1/2*sin2B+√3/2*cos2B
=√3+1/2*sin2B-√3/2*cos2B
=√3+sin(2B-π/3)
由第1小题知：0<B≤π/3，即：0<2B≤2π/3
所以：-π/3<2B-π/3≤π/3
所以当2B-π/3=π/3,即B＝π/3时，
函数有最大值为√3+1