Question

高等数学多元函数已知全微分求原函数

我知道有凑微分法，但是不知道答案这种做法怎么来的，求大神解释一下，主要是为什么z对x的偏导等于他的积分还加上一个Ψ（y)，对y的偏导为什么等于x加上Ψ（y)的导数，谢谢





Answer 1

一元函数不定积分结果要加积分常数 C，二元函数求原函数对 x 积分后， 要加 y 的函数 Ψ(y)。

例如：

对x求偏导：2x + 2zz'x = e^z + xe^z z'x => z'x = (2x-e^z)/(xe^z - 2z)

对y求偏导：2y + 2z z'y = xe^z z'y ==> z'y = 2y/(xe^z-2z)

dz = z'x dx + z'y dy = (2x-e^z)/(xe^z - 2z) dx + 2y/(xe^z-2z) dy

本质：

多元函数的本质是一种关系，是两个集合间一种确定的对应关系。这两个集合的元素可以是数；也可以是点、线、面、体；还可以是向量、矩阵等等。一个元素或多个元素对应的结果可以是唯一的元素，即单值的。也可以是多个元素，即多值的。

Answer 2

答案已经写得很明白了呀
你在对x求积分之后，事实上z他还也是一个y的一个函数，所以说要加上一个y的函数，这样才是z，不然的话就不是z。这相当于就是一个不定的一个y的函数，然后再根据偏z比偏y，有已知条件求出这个y的函数。不懂可以追问。

Answer 3

（1）首先要知道dz=(偏z/偏x)dx+(偏z/偏y)dy

（2）为什么z对x的偏导等于他的积分还加上一个Ψ（y)：因为在对x求全微分的时候将y看做了常数，求偏导给求没了，所以要在求积分后加上

（3）对y的偏导为什么等于x加上Ψ（y)的导数：这个是基于（2）已经求得z的基本形式的前提下再结合（1）求得到的。

Answer 4

一元函数不定积分结果要加积分常数 C，
二元函数求原函数对 x 积分后， 要加 y 的函数 Ψ(y)， 道理一样。