Question

若a>0,b>0,且a+b=1,求a分之一+b分之一+ab的最小值

Answer 1

1/a
+
1/b
+
ab
=(a+b)/a
+
(a+b)/b
+ab
=1+b/a+1+a/b+ab
=2+(b/a+a/b)+ab
=2+(b/a+4ab)+(a/b+4ab)-7ab
≥2+2*2b+2*2a-7ab
=6-7ab
≥6-7*
1/4=6-7/4=17/4
中间用到的2个不等式分别是x+y≥2√xy和(x+y)^2≥4xy(即-xy≥-1/4)
之所以不能像你说的那样用ab作为分母的分式求最小值，因为1/a+1/b+ab=(a+b)/ab+ab=1/ab+ab取得最小值的条件是ab=1但是a>0,b>0,a+b=1的题设前提下，ab不可能取得值1，所以这个不等式不能取等号，所以2不是其最小值。
顺便，一般看到这种题目都是用函数的单调性去做，不过貌似现在会碰见这种题目的人都是还没学函数单调性的人=。=
所以有个小诀窍：看取得最小值的的条件去凑式子，看见这个题目，首先就推测a=b=1/2取得最值，然后带几个值验证，果然还是a=b=1/2比较小，于是心里就有底了，如果用到的不等式等号成立条件不是a,b同时为1/2那肯定得不到正确的结果，所以我在解题过程中凑了个4ab就是为了让b/a=1=4ab.