Question

高中数学函数求值域的常用方法

Answer 1

1．观察法
用于简单的解析式。
y＝1－√x≤1,值域(－∞,
1]
y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).
2.配方法
多用于二次(型)函数。
y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,
＋∞）
y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）
3.
换元法
多用于复合型函数。
通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。
特别注意中间变量（新量）的变化范围。
y=-x+2√(
x-1)+2
令t=√(x-1),
则t≤0,
x=t^2+1.
y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞,
1].
4.
不等式法
用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。
y=（e^x+1）/(e^x-1),
(0
1/(e-1),
y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).
5.
最值法
如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].
因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.
6.
反函数法
有的又叫反解法.
函数和它的反函数的定义域与值域互换.
如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.
7.
单调性法
若f(x)在定义域[a,
b]上是增函数,则值域为[f(a),
f(b)].减函数则值域为
[f(b),
f(a)].

Answer 2

那肯定就用换元了，不过好久没做了，忘了怎么换比较恰当。另外，高中数学知识里很重要的一个就是导数。在结果上没有关系，那是纯粹的巧合；在数学上，没有限制范围的话，那就叫不严谨。因为在换元的时候必须考虑“等价代换”，就比如别的题目，用t替代x^2的话，显然要控制t的范围为非负数，不然就会弄出x^2<0的低级错误。因为p=sint,而p范围是【-1，1】啊，所以可以取t在第一，四象限啊
如果把t=α,α∈[0,π]的话，不可以啊，因为sinα范围是【0，1】，虽然答案一样那是巧合啊