Question

如何将空间直线的对称式方程化为一般式方程

Answer 1

对称式：（x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n
转换成“交面式”,因所选用方程的不同可以有不同的形式.
由“左方程”：(x-x0)/l=(y-y0)/m
=>
mx-mx0=ly-ly0
=>
mx-ly+ly0-mx0=0
同理,由“右方程”
ny-mz+mz0-ny0=0
则,经转换后交面式方程的各系数分别为：A1=m,B1=-l,C1=0,D1=ly0-mx0；A2=0,B2=n,C2=-m,D2=mz0-ny0

Answer 2

对称式由直线上一点和直线的方向向量决定
(1)先求一个交点，将z随便取值解出x和y
不妨令z=0
由x+2y=7
-2x+y=7
解得x=-7/5,y=21/5
所以(-7/5,21/5,0)为直线上一点
(2)求方向向量
因为两已知平面的法向量为(1,2,-1),(-2,1,1)
所求直线的方向向量垂直于2个法向量
由外积可求
方向向量=(1,2,-1)×(-2,1,1)
=
i
j
k
1
2
-1
-2
1
1
=3i+j+5k
所以直线方向向量为(3,1,5)
因此直线对称式为(x+7/5)/3=(y-21/5)/1=z/5

Answer 3

1)
任意对其中一个变量赋一个特殊的值（例如：0，
1。。等），若不能使剩下的变量构成合适的二元一次方程组则换一个变量赋值，然后解出剩下变量构成的二元一次方程组，得出直线上的一个点的坐标：P(xp,yp,zp);
2)由公式解出直线的方向数：l=|(B1,C1)(B2,C2)|=B1C2-B2C1
m=|(C1,A1)(C2,A2)|=A2C1-A1C2
n=|(A1,B1)(A2,B2)|=A1B2-A2B1
则
直线的《对称式》（《点向式》）方程为
：
（x-xp)/(B1C2-B2C1)=(y-yp)/(A2C1-A1C2)=(z-zp)/(A1B2-A2B1)
参数式方程
自己能写出吗？

Answer 4

（1）把联立方程改写成两个方程的形式；（2）把分式方程化为整式方程的形式。即完成转换。
例：（x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n
(x-x0)/l=(y-y0)/m
(y-y0)/m=(z-z0)/n
=>
mx-ly+(ly0-mx0)=0
ny-mz+(mz0-ny0)=0