Question

线性代数问题证明： n维向量组a1.a2…an线性无关的充分必要条件是，任一n维向量a都可由他们线

Answer 1

必要性
因为任意n+1个n维向量一定线性相关，设a是任意一个n维向量，则向量组a,a1.a2…an必线性相关，又n维向量组a1.a2…an线性无关，a都可由他们线性表示。
充分性
若任一n维向量a都可由a1.a2…an线性表示，那么，特别的，n维单位坐标向量组也由他们线性表示。而a1.a2…an必可由n维单位坐标向量组线性表示，故a1.a2…an与n维单位坐标向量组等价，而n维单位坐标向量组线性无关，所以1.a2…an线性无关。

Answer 2

证明：充分性：若任一n维向量a都可以n维向量组a1，a2，…，an线性表示，
那么，特别地，n维单位坐标向量组也都可以由它们线性表示，
又向量组a1，a2，…，an也可由n维单位坐标向量线性表示，
所以，向量组a1，a2，…，an与n维单位坐标向量组等价，
而n维单位坐标向量组是线性无关组，
从而向量组a1，a2，…，an也是线性无关组。
必要性
若n维向量组a1，a2，…，an线性无关，又任意n+1个n维向量必线性相关，
设a是任一n维向量，则向量组a,a1，a2，…，an线性相关，
故a可以由a1，a2，…，an线性表示。