Question

已知函数f（x）=（ax2+x）•ex，其中e是自然数的底数，a∈R，（1）当a...

已知函数f（x）=（ax2+x）•ex，其中e是自然数的底数，a∈R， （1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0； （2）当a=0时，试判断：是否存在整数k，使得方程f（x）=（x+1）•ex+x-2在[k，k+1]上有解？若存在，请写出所有可能的k的值；若不存在，说明理由； （3）若当x∈[-1，1]时，不等式f（x）+（2ax+1）•ex≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a＜0时，由不等式f（x）＞0，
得（ax2+x）•ex＞0，即ax2+x＞0，
由于a＜0，所以ax(x+1a)＞0
所以解集为{x|0＜x＜-1a}．…（2分）
（2）方程即为ex+x-2=0，
设h（x）=ex+x-2，
由于y=ex和y=x-2均为增函数，则h（x）也是增函数，
又因为h（0）=e0+0-2=-1＜0，h（1）=e1+1-2=e-1＞0，
所以该函数的零点在区间（0，1）上，
又由于函数为增函数，所以该函数有且仅有一个零点，
所以方程ex+x-2=0有且仅有一个根，且在（0，1）内，
所以存在唯一的整数k=0．…（6分）
（3）当x∈[-1，1]时，即不等式ax2+（2a+1）x+1≥0恒成立，
①若a=0，则x+1≥0，该不等式满足在x∈[-1，1]时恒成立；…（7分）
②由于△=（2a+1）2-4a=4a2+1＞0，
所以g（x）=ax2+（2a+1）x+1有两个零点，
若a＞0，则需满足a＞0g(-1)≥0-2a+12a≤-1，
即a＞0a≤02a+1≥2a，此时a无解；…（9分）
③若a＜0，则需满足a＜0g(-1)≥0g(1)≥0，
即a＜0a≤0a≥-23，所以-23≤a＜0…（11分）
综上所述，a的取值范围是-23≤a≤0．…（12分）