Question

已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，（1）若M点的坐标为（-1...

已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M， （1）若M点的坐标为（-1，0），求抛物线的方程； （2）过点M的直线l与抛物线交于两点P、Q，若FP•FQ=0（其中F是抛物线的焦点），求证：直线l的斜率为定值．

Answer 1

解：（1）-p2=-1，∴p=2，
∴抛物线方程为y2=4x；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）l的斜率为k．
∵FP•FQ=0，
∴(x1-p2，y1)•(x2-p2，y2)=0，x1x2-p2(x1+x2)+p24+y 1y2=0，①
l的方程为y=k(x+P2)，联立y2=2px，得k2x2+(pk2-2p)x+k2p24=0，
∴x1+x2=2p-pk2k2，x1x 2=p24.②
又y1y2=k2[x1x2+p2(x1+x2)+p24].③
联立①②③得k=±22.
经检验，k=±22时，l与抛物线交于两个点．