Question

已知函数当时,求的单调区间设,当时,若对任意,存在,使,求实数的取值范围.

已知函数 当时,求的单调区间 设,当时,若对任意,存在,使,求实数的取值范围.

Answer 1

直接利用函数与导数的关系,求出函数的导数,再讨论函数的单调性;利用导数求出的最小值,利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间上的最大值,然后解不等式求参数.
解:,令当时,由,即,解得,.当时,恒成立,此时,函数单调递减;当时,,时,,函数单调递减;时,,,函数单调递增;时,,,函数单调递减.综上所述:当时,恒成立,此时,函数在单调递减;当时,函数在单调递减,单调递增,单调递减.当时,在上是减函数,在上是增函数,所以对任意,有,又已知存在,使,所以,,又,当时,与矛盾;当时,也与矛盾;当时,,.综上,实数的取值范围是.
本题将导数,二次函数,不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性,利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题,考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题,解决问题的能力.