Question

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为3直线与抛物线在x轴上方...

已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为3直线与抛物线在x轴上方的交点为M，过M作y轴的垂线，垂足为N，O为坐标原点，若四边形OFMN的面积为43． （1）求抛物线的方程； （2）若P，Q是抛物线上异于原点O的两动点，且以线段PQ为直径的圆恒过原点O，求证：直线PQ过定点，并指出定点坐标．

Answer 1

（1）解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（p2，0），
∴过F且斜率为3直线方程为y=3(x-p2)，
联立y2=2pxy=3(x-p2)，得12x2-20px+3p2=0，
解得x=32p，或x=p6，
∵直线与抛物线在x轴上方的交点为M，
∴M（32p，3p），
∵过M作y轴的垂线，垂足为N，O为坐标原点，四边形OFMN的面积为43，
∴12(p2+3p2)×3p=43，解得p=2，
∴抛物线的方程y2=4x．
（2）证明：①当直线PQ的斜率不存在时，设直线PQ的方程为y=x0，x0＞0，
则x0=2x0，解得x0=4，直线PQ过定点（4，0）．
②当直线PQ的斜率存在时，假设直线直线PQ过定点（4，0），则设直线PQ的方程为y=k（x-4），
联立y2=4xy=k(x-4)，得k2x2-（8k2+4）x+16k2=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=8+4k2，x1x2=16，
∴y1+y2=k（x1-4）+k（x2-4）=k（8+4k2）-8k=4k，
y1y2=k（x1-4）•k（x2-4）
=k2[x1x2-4（x1+x2）+16]
=k2[16-4（8+4k2）+16]=-16．
∴|PQ|=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=[(x1+x2)2-4x1x2]+[(y1+y2)2-4y1y2]
=(8+4k2)2-4×16+(4k)2-4×(-16)
=24k4+20k2+16．
∵线段PQ的中点A（4+2k2，2k），
∴|AO|=(4+2k2)2+(2k)2=4k4+20k2+16．
∴以线段PQ为直径的圆恒过原点O．
即假设成立，故直线PQ恒过定点（4，0）．