Question

（1） (2x+ 1 3 x ) 8 的展开式中的常数项是______，（2x-1） 6 展开式中

（1） (2x+ 1 3 x ) 8 的展开式中的常数项是______，（2x-1） 6 展开式中x 2 的系数为______（用数字作答）； （2）（x+ 1 x 2 ） 9 的二项展开式中系数最大的项为______，在x 2 （1-2x） 6 的展开式中，x 5 的系数为______； （3）如果（1-2x） 7 =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a 7 x 7 ，那么a 1 +a 2 +a 3 +…+a 7 =______，已知（1+kx 2 ） 6 （k是正整数）的展开式中，x 8 的系数小于120，则k=______．

Answer 1

（1））
(2x+
1
3
x
)
8
的展开式中的通项是
C
r8
(2x)
8-r
(
1
3
x
)
r
=
C
r8
2
8-r
x
8-
4r
3
∴8-
4r
3
=0，r=6
∴常数项是112
（2x-1）
6
的通项是（-1）
r
C
6
r
2
6-r
x
6-r
，
当6-r=2，
∴r=4，
∴系数是60，
（2））（x+
1
x
2
）
9
的通项是C
9
r
x
9-3r
，
系数最大的项是r=5
∴系数最大的项是126x
-6
，
x
2
（1-2x）
6
的通项是C
6
r
（-2）
r
x
r+2
，
∴x
5
的系数为r=3时，系数是-160
（3）∵（1-2x）
7
=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…+a
7
x
7
，
当x=1时，a
1
+a
2
+a
3
+…+a
7
=-1-a
0
当x=0时，a
0
=1．
∴a
1
+a
2
+a
3
+…+a
7
=-2，
（1+kx
2
）
6
的通项是C
6
r
k
r
x
r+2
x
8
的系数小于120，
∴C
6
4
K
4
＜120，
∵k是正整数
∴k=1，
故答案为：（1）112；60
（2）126x
-6
；-160
（3）-2；1