Question

求助一高数题，谢谢

Answer 1

先利用对称性化简三重积分

①积分区域Ω关于xoy平面对称，且2y+√(x^2+y^2)关于z是偶函数

②积分区域Ω关于zox平面对称，且2y关于y是奇函数，√(x^2+y^2)关于y是偶函数

③积分区域Ω关于yoz平面对称，且2y+√(x^2+y^2)关于x是偶函数

所以∫∫∫(Ω) [2y+√(x^2+y^2)]dxdydz

=8*∫∫∫(Ω') √(x^2+y^2)dxdydz，其中Ω'是Ω在第一卦限中的部分

再利用球坐标变换求解

令x=rsinφcosθ，y=rsinφsinθ，z=rcosφ

原式=8*∫(0,π/4)dφ*∫(0,π/2)dθ*∫(a,2a)(r^3*sin^2φ)dr

=∫(0,π/4)(1-cos2φ)dφ*(π/2)*(r^4)|(a,2a)

=[φ-(1/2)*sin2φ]|(0,π/4)*(π/2)*15a^4

=(π/4-1/2)*(15π/2)*a^4

=[15π(π-2)/8]*a^4

Answer 2

Answer 3

解：x=rsinφcosθ; y=rsinφsinθ; z=rsinθ; dv=r^2sinφdrdφdθ;
∫∫∫Ω [y+√(x^2+y^2)]dxdydz
=2∫(a,2a)dr∫(0,2π)dθ{∫(0,π/4)(sinφsinθ+sinφ])r^3sinφdφ+∫(π/4,π/2)r^3sin^2φ(1+sinθ)dφ
=∫(a,2a)dr∫(0,2π)r^3(1+sinθ)dθ[(φ+cos2φ)(0,π/4) +(φ+cos2φ)(π/4, π/2)
=(π/2-1)(2π)[(2a)^4/4-a^4/4]
=15π(π-2)a^4/8

Answer 4

求助，解高数题。谢谢!!!!

lwayyh LV9
2014-09-09
满意答案

biblewiki
LV8
2014-09-09
11.求y'-2y=x的通解
解:先求齐次方程y'-2y=0的通解。
y'=2y，分离变量得dy/y=2dx，积分之得lny=2x+lnC;即y=e^(2x+lnC)=Ce^(2x);
将积分常数换成x的函数u，(参数变易法)得y=ue^(2x)............(1)
将(1)的两边对x取导数得dy/dx=(du/dx)e^(2x)+2ue^(2x).........(2)
将(1)和(2)一起代入原方程得(du/dx)e^(2x)+2ue^(2x)-2ue^(2x)=x
化简得(du/dx)e^(2x)=x，分离变量得du=xe^(-2x)dx;
积分之得u=∫xe^(-2x)dx=-(1/2)∫xd[e^(-2x)]=-(1/2)[xe^(-2x)-∫e^(-2x)dx]
=-(1/2)[xe^(-2x)+(1/2)∫e^(-2x)d(-2x)
=-(1/2)[xe^(-2x)+(1/2)e^(-2x)]+C
=-(1/2)(x+1/2)e^(-2x)+C
代入(1)式得y=[-(1/2)(x+1/2)e^(-2x)+C]e^(2x)=-(1/2)(x+1/2)+Ce^(2x).
故原方程的通解为y=Ce^(2x)-(1/2)x-1/4.
6.求定积分【0，1】∫e^√(x+1)dx
解:令√(x+1)=u，则x+1=u²，x=u²-1，dx=2udu;x=0时u=1;x=1时u=√2;代入原式得:
原式=【1，√2】2∫ue^udu=【1，√2】2∫ud(e^u)=【1，√2】2[ue^u-∫e^udu]
=2[ue^u-e^u]【1，√2】=2(u-1)e^u【1，√2】=2(√2-1)e^√2
5。xy+x²+y²=3在(1，1)处的切线和法线方程
解:设F(x，y)=xy+x²+y²-3=0，则
dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-(y+2x)/(x+2y)，故y'(1，1)=-1
于是得(1，1)处的切线方程为y=-(x-1)+1=-x+2.
(1，1)处的法线方程为y=(x-1)+1=x.
6。求广义积分【1，+∞】∫dx/√(1+x²)
解:令x=tanu，则dx=sec²udu;x=1时u=π/4;x→+∞时u→π/2，故
原式=【π/4，π/2】∫secudu=ln(secu+tanu)【π/4，π/2】
=u→π/2lim[ln(secu+tanu)-ln(√2+1)
=u→π/2lim[ln(1/cosu+sinu/cosu)]-ln(1+√2)
=u→π/2lim[ln(1+sinu)/cosu]-ln(1+√2)
=+∞
9。求定积分【0，π】∫[(xsinx)/cos²x]dx
解:原式=【0，π】∫xsecxtanxdx=【0，π】∫xd(secx)
=【0，π】[xsecx-∫secxdx]
=【0，π】[xsecx-ln(secx+tanx)]
=【0，π/2】[xsecx-ln(secx+tanx)]+【π/2，π】[xsecx-ln∣(secx+tanx)∣]
=x→π/2lim[xsecx-ln(secx+tanx)]-π-{x→π/2lim[xsecx-ln(secx+tanx)]}
=-π