Question

已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象与x...

已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为(π6，0)和(5π6，0)，且过点（0，-3）． （1）求f（x）的解析式． （2）求满足f(x)≥√3的x的取值范围．

Answer 1

解：（1）可得f（x）的周期为T=5π6-π6=2π3=πω，∴ω=32，
得f(x)=Atan(32x+φ)，它的图象过点(π6，0)，∴Atan(32•π6+φ)=0，
即tan(π4+φ)=0，∴π4+φ=kπ，得φ=kπ-π4，又|φ|＜π2，∴φ=-π4，
于是f(x)=Atan(32x-π4)，它的图象过点（0，-3），∴Atan(-π4)=-3，得A=3．
∴f(x)=3tan(32x-π4)；
（2）由（1）得3tan(32x-π4)≥√3，∴tan(32x-π4)≥√33，
得kπ+π6≤32x-π4＜kπ+π2，解得2kπ3+5π18≤x＜2kπ3+π2，
∴满足f(x)≥√3的x的取值范围是[2kπ3+5π18，2kπ3+π2)(k∈Z)．