Question

设数列{an}前n项和为Sn，且Sn+an=2．（1）求数列{an}的通项公式；...

设数列{an}前n项和为Sn，且Sn+an=2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足b1=a1，bn=3bn-1bn-1+3，n≥2．求数列{bn}的通项公式； （3）（理）设cn=anbn，求数列{cn}的前n和Tn． （文）设cn=nan，求数列{cn}的前n和En．

Answer 1

解：（1）由Sn+an=2，得Sn+1+an+1=2，两式相减，得2an+1=an，
∴an+1an=12（常数），
故{an}是公比q=12的等比数列，
又n=1时，S1+a1=2．解得a1=1，
∴an=12n-1．
（2）由b1=a1=1，且n≥2时，bn=3bn-1bn-1+3，得bnbn-1+bn=3bn-1，
即1bn-1bn-1=13，
∴{1bn}是以1为首项，13为公差的等差数列，
∴1bn=1+n-13=n+23，
故bn=3n+2．
（3）理：cn=anbn=n+23•12n-1，
则Tn=13[3•(12)0+4•(12)1+5•（12）2+…+（n+2）•（12）n-1]，
12Tn=13[3•(12)1+4•（12）2+…+（n+1）•（12）n-1+（n+2）•（12）n]，
以上两式相减得，
12Tn=13[3+（12）1+（12）2+…+（12）n-1-（n+2）•（12）n]=13[3+12[1-(12)n-1]1-12-（n+2）•（12）n]=13[4-（12）n-1-（n+2）•（12）n]，
故Tn=83-n+43•2n-1，）
文：cn=nan=n•2n-1，
则En=1+2•21+3•22…+n•2n-1，
2En=21+2•22+3•23…+n•2n，
以上两式相减得，
-En=1+21+22+23…2n-1-n•2n=1-2n1-2-n•2n=2n（1-n）-1，
故En=1+2n（n-1）．