Question

函数x²-ax+2a<0,有且只有两个整数解,求a的范围

答案是[-1,-1/3)∪（25/3,9]求过程

Answer 1

x²-ax+2a<0
x²-ax+(a/2)²-a²/4+2a<0
(x-a/2)²-(a²-8a)/4<0
欲使不等式有解必须判别式不小于零，即a≤0或a≥8；
有且只有两个整数解必须两根之差大于1小于2，即1<[a+√(a²-8a)]/2-[a-√(a²-8a)]/2<2
2<[a+√(a²-8a)]-[a-√(a²-8a)]<4
2<a+√(a²-8a)-a+√(a²-8a)<4
2<2√(a²-8a)<4
1<√(a²-8a)<2
1<a²-8a<4
1)
a²-8a<4
a²-8a-4<0
a²-8a+16-16-4<0
(a-4)²-20<0
(a-4+2√5)(a-4-2√5)<0
4-2√5<a<4+2√5
2)
a²-8a>1
a²-8a-1>0
a²-8a+16-16-1>0
(a-4)²-17>0
(a-4+√17)(a-4-√17)>0
......

Answer 2

解：
二次项系数1>0，又不等号为<号，x在某一开区间上取值，设为(k，k+1)，则
(x-k)[x-(k+1)]<0
x²-(2k+1)x+k(k+1)<0
此不等式与已知不等式x²-ax+2a<0为同一个不等式
2k+1=a
k=(a-1)/2
k(k+1)=2a
[(a-1)/2][(a-1)/2
+1]=2a
整理，得
a²-8a=1
a²-8a+16=17
(a-4)²=17
a=4+√17或a=4-√17