Question

求解一道不等式

已知正实数a+b+c=1 求证 5[(ab)^2+（bc）^2+(ca）^2]+4[a^2bc+b^2ca+c^2ab]>=9abc

Answer 1

4[a^2bc+b^2ca+c^2ab]=4abc, 所以只需求证(ab)^2+（bc）^2+(ca）^2>=abc.
(ab)^2+（bc）^2+(ca）^2=(abc)^2(1/a^2+1/b^2+1/c^2).
所以只需证明abc(1/a^2+1/b^2+1/c^2)>=1.
abc(1/a^2+1/b^2+1/c^2)=bc/a+ac/b+ab/c=[(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2]/abc.
所以只需证明(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2>=abc.
(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2=2((bc)^2+(ac)^2+(ab)^2)/2>=a^2bc+ab^2c+abc^2=abc(a+b+c)=abc, 从而得证。
我用的是逆反思维，请自己把过程倒过来整理，这样你才能学到东西.

Answer 2

配方程的思路，（ab+bc+ac）²=a²b²+2ab²c+b²c²+2a²bc+2abc²+a²c²