Question

变限积分求极限，这个变限积分里有个变限积分，求导之后的结果我不是很理解，里面的积分该怎么处理？

Answer 1

为了书写方便不妨令
f(x)=∫(0，x) sin(2t)/∨(4＋t²) dt
g(x)=∫(0，x) [∨(t＋1)–1] dt
由于题目中最右边那个是dt，说明是对t进行积分，而g(x)是关于x的一个函数，所以可以直接将g(x)提出积分外面
变成1/g(x) ·∫(0，x) sin(2t)/∨(4＋t²) dt
则原式=lim(x→0) f(x)/g(x)
x→0时，f(x)→0，g(x)→0
0/0型，可以运用洛必达法则。
所以原式=lim(x→0) f'(x)/g'(x)
=lim(x→0) sin(2x)/[(∨(x＋1)–1)∨(4＋x²)]
=lim(x→0) [∨(x＋1)＋1]/∨(4＋x²) · 2sin(2x)/(2x)
=1·2=2