Question

求微分方程y'= 1/(2x-y^2)通解

求高手 需过程 +50分

Answer 1

解：∵y'=
1/(2x-y²)
∴dx/dy=2x-y².........(1)
∵齐次方程dx/dy-2x=0的特征方程是r-2=0，则r=2
∴齐次方程dx/dy-2x=0的通解是x(y)=Ce^(2y)
(C是积分常数)
于是，设微分方程(1)的通解是x(y)=C(y)e^(2y)
(C(y)是关于y的函数)
∵x'(y)=C'(y)e^(2y)+2C(y)e^(2y)
代入微分方程(1),得C'(y)e^(2y)+2C(y)e^(2y)=2C(y)e^(2y)-y²
==>C'(y)e^(2y)=-y²
==>C'(y)=-y²e^(-2y)
∴C(y)=-∫y²e^(-2y)dy
=y²e^(-2y)/2-∫ye^(-2y)dy
(应用分部积分法)
=y²e^(-2y)/2+ye^(-2y)/2-1/2∫e^(-2y)dy
(再次应用分部积分法)
=y²e^(-2y)/2+ye^(-2y)/2+e^(-2y)/4+C
(C是积分常数)
从而，x(y)=[y²e^(-2y)/2+ye^(-2y)/2+e^(-2y)/4+C]e^(2y)
=y²/2+y/2+1/4+Ce^(-2y)
故原微分方程的通解是x(y)=y²/2+y/2+1/4+Ce^(-2y)
(C是积分常数)