Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,AB平行CD,AB垂直AD,CD=2AB,

平面PAD垂直底面ABCD，PA垂直AD,E和F分别是CD和PC的中点，求证1)PA垂直底面ABCD 2)BE平行平面PAD 3)平面BEF垂直平面PCD 求详细解答，O(∩_∩)O谢谢!

Answer 1

∵平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD
∴PA⊥平面ABCD(平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
)
∵E是CD中点，CD=2AB
∴AB=ED
又∵AB∥CD
∴四边形ABED是平行四边形(平行四边形的判定:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴BE∥AD(平行四边形性质定理:平行四边形对边分别平行)
∴BE∥平面PAD(直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。)
∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD
∴AB⊥平面PAD(平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
)
∴AB⊥PD
∵CD∥AB
∴CD⊥PD
∵F是PC中点，E是CD中点
∴FE∥PD(三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。)
∴CD⊥FE
∵ABCD是平行四边形，AB⊥AD
∴ABCD是矩形
∴BE⊥CD
∴CD⊥平面BFE
∴平面CFE⊥平面BFE