Question

已知函数f(x)=sin2ωx+3sinωxcosωx(ω＞0)的最小正周期为3...

已知函数f(x)=sin2ωx+3sinωxcosωx(ω＞0)的最小正周期为3π． （1）将函数f（x）的图象向左平移π4单位后得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间[0，2π]上的值域； （2）若sin(θ+ωπ)=33，且0＜θ＜π2，求sinθ．

Answer 1

解：（1）f（x）=12（1-cos2ωx）+32sin2ωx=32sin2ωx-12cos2ωx+12=sin（2ωx-π6）+12，
∵f（x）的最小正周期为3π，ω＞0，
∴2π|2ω|=3π，即ω=13，
∴f（x）=sin（23x-π6）+12，
根据题意得：g（x）=sin[23（x+π4）-π6]+12=sin23x，
∵x∈[0，2π]，∴23x∈[0，4π3]，
∴sin23x∈[-32，1]，
则g（x）在区间[0，2π]上的值域为[-32，1]；
（2）由（1）得：sin（θ+π3）=33＜32，
∵0＜θ＜π2，∴π2＜θ+π3＜5π6，
∴cos（θ+π3）=-1-(33)2=-63，
则sinθ=sin[（θ+π3）-π3]=sin（θ+π3）cosπ3-cos（θ+π3）sinπ3=33×12-32×（-63）=36+22=3+326．