Question

数学反比例函数和几何相结合题

Answer 1

如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y= 
kx
（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA= 
12
．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．
 
 
 
答案：：（1）∵点E（4，n）在边AB上，
∴OA=4，
在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=12，
∴AB=OA×tan∠BOA=4×12=2；
（2）根据（1），可得点B的坐标为（4，2），
∵点D为OB的中点，
∴点D（2，1）
∴k2=1，
解得k=2，
∴反比例函数解析式为y=2x，
又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，
∴24=n，
解得n=12；
（3）如图，设点F（a，2），
∵反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，
∴2a=2，
解得a=1，
∴CF=1，
连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2-t，
在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，
即t2=（2-t）2+12，
解得t=54，
∴OG=t=54．