高中三角函数：正余弦定理
在△ABC每边上，分别以该边为底边向外作顶角为120°的等腰三角形△MAB、△NBC、△PCA,求证：△MNP为等边三角形PS:请用正余弦定理证明，谢谢各位...
在△ABC每边上，分别以该边为底边向外作顶角为120°的等腰三角形△MAB、△NBC、△PCA,求证：△MNP为等边三角形 PS:请用正余弦定理证明，谢谢各位
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设AB=3c,CA=3b,BC=3a
△MAB中，由正弦定理--->AM=√3c,
同理：AP=√3b
△AMP中，由余弦定理：
PM^=AM^+AP^-2AM*APcos(A+60)
=3c^+3b^-3bc(cosA-√3sinA)
=3c^+3b^-(3/2)(b^+c^-a^)+3√3abc/(2R)
=(3/2)(a^+b^+c^+√3abc/R)
......
R为△ABC外接圆半径
同理：PN^=MN^=(3/2)(a^+b^+c^+√3abc/R)=PM^
--->PM=PN=MN，即：△MNP为等边三角形
△MAB中，由正弦定理--->AM=√3c,
同理：AP=√3b
△AMP中，由余弦定理：
PM^=AM^+AP^-2AM*APcos(A+60)
=3c^+3b^-3bc(cosA-√3sinA)
=3c^+3b^-(3/2)(b^+c^-a^)+3√3abc/(2R)
=(3/2)(a^+b^+c^+√3abc/R)
......
R为△ABC外接圆半径
同理：PN^=MN^=(3/2)(a^+b^+c^+√3abc/R)=PM^
--->PM=PN=MN，即：△MNP为等边三角形
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