Question

高中数列难题，最好是综合的。

Answer 1

〔例2〕已知Sn=1+
+…+
,(n∈N*)设f(n)=S2n+1－Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式：f(n)＞〔logm(m－1)〕2－
〔log(m－1)m〕2恒成立.
命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.
错解分析：本题学生很容易求f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.
技巧与方法：解决本题的关键是把f(n)(n∈N*)看作是n的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数f(n)的最小值大于〔logm(m－1)〕2－
〔log(m－1)m〕2.
解：∵Sn=1+
+…+
.(n∈N*)
∴f(n+1)＞f(n)
∴f(n)是关于n的增函数
∴f(n)
min=f(2)=
∴要使一切大于1的自然数n，不等式
f(n)＞〔logm(m－1)〕2－
〔log(m－1)m〕2恒成立
只要
＞〔logm(m－1)〕2－
〔log(m－1)m〕2成立即可
由
得m＞1且m≠2
此时设〔logm(m－1)〕2=t
则t＞0
于是
解得0＜t＜1
由此得0＜〔logm(m－1)〕2＜1
解得m＞
且m≠2.