Question

高等数学求导数，设f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)…(x+100),求f'(0).

Answer 1

解法如下：

f'(0)＝lim(x->0)[f(x)-f(0)]/(x-0)

＝lim(x->0)f(x)/x

＝lim(x->0)(x-1)(x+2)(x-3)…(x+100)

＝(0-1)(0+2)(0-3)…(0+100)

＝(-1)^50·100!

＝100!

导数简介：

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

Answer 2

解法之一(定义法)如下：

f'(0)＝lim(x->0)[f(x)-f(0)]/(x-0)

＝lim(x->0)f(x)/x

＝lim(x->0)(x-1)(x+2)(x-3)…(x+100)

＝(0-1)(0+2)(0-3)…(0+100)

＝(-1)^50·100!

＝100! .

Answer 3

因为f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)...(x+100)=x^100+a1x^99+...+(0-1+2-3+...+100)x，所以f'(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)...(x+100)=100x^99+99a1x^98+...+(0-1+2-3+...+100)，得到f'(0)=0-1+2-3+...+100。

追问

与书上答案，不符。

追答

看漏了，展开最高应该是x的101次方，反正思路是这样的，展开多项式求导后降幂，带入后带x项的全为零，保留常数项。

追问

那么最终答案是多少？

Answer 4

f(x) = x(x-1)(x+2)(x-3)…(x+100)
f'(x) = (x-1)(x+2)(x-3)…(x+100) + x[(x-1)(x+2)(x-3)…(x+100)]'
f'(0) = (-1)2(-3)4(-5)6......(-99)100 + 0 = 100!

追问

回答正确，就是你了！

Answer 5

高等数学求导数，设f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)…(x+100),求f'(0).
上式为化成：
f(x）=x^101+x^100....+1*2*3...100
f’(0)=0

追问

与书上答案不符喔

与书上答案不符喔

追答

抱歉，重做。

-100！