Question

问一道高中数学题

f（x）是定义域在R上的增函数，若f（1-ax-x²)<f(2-a)对x∈[0,1]都成立.求a的取值范围

Answer 1

因为f(x)在R上单调递增，若f（1-ax-x²)<f(2-a),则1-ax-x²<2-a,化简得x²+ax+1-a＞0 x∈[0,1]，由于y(x)=x²+ax+1-a的对称轴为x=-a/2
（1）当-a/2＜0，则y(x)=x²+ax+1-a在x∈[0,1]范围内单调递增，此时只要y(0)＞0 即可，即1-a＞0 ,解得0＜a＜1
(2)当-a/2＞1，则y(x)=x²+ax+1-a在x∈[0,1]范围内单调递减，此时只要y(1)＞0 即可，即由于y(1)=2，故a＜-2
（3）当0＜-a/2＜1，则y(x)=x²+ax+1-a在x∈[0,1]范围内最小值为y(-a/2)=1-a-a²/4＞0,联立0＜-a/2＜1与a²+4a-4＜0，解得-2＜a＜0
由以上可推得a的范围为 a＜1

Answer 2

解： f（x）是定义域在R上的增函数，
且f（1-ax-x²)<f(2-a)
所以有
1-ax-x² <2-a
即 x²+2-a-1+ax>0 且对x∈[0,1]都成立
所以-（x²+ax+1-a）>0 X=0时 a<1
X=1时 a∈R
所以 a<1。

Answer 3

依题意知1-ax-x²<2-a，当x不为1时整理得a<1+x²除以1-x。设y=1+x²除以1-x 令1-x=z则y=z+2除以z-2 所以z最小值为1+2-2=1所以a<1。当x=1时有f（-a)<f(2-a)则-a<2-a即0<2 成立 终上所述a<1

Answer 4

f（1-ax-x²)<f(2-a),由增函数得:
1-ax-x^2<2-a
即x^2+ax-a+1>0,对x∈[0,1]都成立
(x-1)a+(x^2+1)>0
(x-1)a>-(x^2+1)
由于x-1<0,则有a<-(x^2+1)/(x-1),对x∈[0,1]都成立
那么a就要小于-(x^2+1)/(x-1)的最小值.
设h(x)=-(x^2+1)/(x-1)=-[(x-1)^2+2(x-1)+2]/(x-1)=-[(x-1)+2/(x-1)+2]=(1-x)+2/(1-x)-2
由于1>1-x>0,则有h(x)>=2根号[(1-x)*2/(1-x)]-2=2根号2-2.
当1-x=2/(1-x),即1-x=根号2时取"=".
而1-x属于[0,1],故(1-x)+2/(1-x)在[0,1]上递减.
所以,当1-x=1时,h(x)有最小值是1+2-2=1
即:a<1

Answer 5

根据题意：
f（1-ax-x²)<f(2-a)对x∈[0,1]
因为：f（x）是定义域在R上的增函数
所以：（1-ax-x²)<(2-a)
x²+ax+1-a>0 x∈[0,1]
所以 a(x-1)+1+x²>0
a<(1+x²)(1-x）
当x=0时 1-a>0 a<1
当x=1时 a<0
综上 a<0