Question

不定积分的五个问题（可能大多是换元法）

第一题∫1/(9-4x^2)^1/2 dx
第二题∫(x^2-2x+3)^10*(x-1) dx
第三题∫cosx/(3+2sinx) dx
第四题∫t/(1+t^2) dt
第五题∫sinx/(cosx)^1/2 dx

Answer 1

∵(arcsinx)'=1/√(1-x^2)
∴∫1/√(9-4x^2) dx
=(1/3)∫√[1-(2x/3)^2]dx
=(1/2)∫√[1-(2x/3)^2]d(2x/3)
=(1/2)arcsin(2x/3)+C

∫(x^2-2x+3)^10*(x-1) dx
=(1/2)∫[(x-1)^2+2]^10 d[(x-1)^2]
=(1/2)∫[(x-1)^2+2]^10 d[(x-1)^2+2]
=(1/2)(1/11)[(x-1)^2+2]^11+C
=(1/22)[(x-1)^2+2]^11+C

∫cosx/(3+2sinx) dx
=∫1/(3+2sinx) d(sinx)
=(1/2)∫1/(3+2sinx) d(3+2sinx)
=(1/2)ln(3+2sinx)+C

∫t/(1+t^2) dt
=(1/2)∫1/(1+t^2) d(t^2)
=(1/2)ln(1+t^2)+C

∫sinx/(cosx)^1/2 dx
=-∫1/(cosx)^1/2 d(cosx)
=-2(cosx)^1/2+C