Question

求解这道高一的三角函数题

已知0＜A＜45°，0＜B＜45°，3sinB=sin(2A+B),tan²(A/2)=1-4tan(A/2),求 A+B

Answer 1

由题中的条件式
(tan(A/2))^2=1-4tan(A/2)
得到
2tan(A/2)/[1-(tan(A/2))^2]=tanA=1/2
而B=(A+B)-A,2A+B=(A+B)+A
这样展开
条件式
3sinB=sin(2A+B)
得到
sin(A+B)cosA=2sinAcos(A+B)
两边同除以cosAcos(A+B)
得到
tan(A+B)=2tanA=1
∴由A,B的取值，A+B=45°

Answer 2

tan²(A/2)=1-4tan(A/2),
4tan(A/2)=1-tan^(A/2)
所以,tanA=2tan(A/2)/(1-tan^(A/2)=1/2

3sinB=sin(2A+B)
3sin(A+B-A)=sin(A+B+A)
3sin(A+B)cosA-3cos(A+B)sinA=sin(A+B)cosA+sinAcos(A+B)
2sin(A+B)cosA=4cos(A+B)sinA
tan(A+B)=2tanA
即tan(A+B)=2*1/2=1.
0＜A＜45°，0＜B＜45,所以,0<A+B<90
故有:A+B=45