Question

设F（x）=∫ sint/t dt ,求F'(0)其中∫ 表示下限为0 上限为x...

设F（x）=∫ sint/t dt ,求F'(0) 其中∫ 表示下限为0 上限为x 的积分符号 解释为什么0 可以代进去. 首先，我知道 F'(x) = sinx/x 我问的是，F'(x)在 x=0 处事没有意义的，题目为什么要问F'(0)

Answer 1

首先F'(x)=lim(dx->0)(F(x+dx)-F(x))/dx
=lim(dx->0)(∫(0,x+dx)
sint/t
dt
-∫(0,x)
sint/tdt)/dx
=lim(dx->0)(∫(x,x+dx)
sint/t
dt/dx
=sinx/x
F'(0)=lim(x->0)
sinx/x=1
你的意思是在x=0处没有意义对吧,的确是的,从你的这个角度上看来x=0时sinx/x是没有意义的,但是假如你将sinx按照泰勒展开就发现其实在0处我们可以对它定义的,sinx=x-x^3/3!+x^5/5!.
在这个展开式中每一项都能被x整除,这个题目的意思是要你求x->0的极限,但是写成sinx/x的形式的确有点歧义