Question

已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=0．若x1，x2为方程ax2+b...

已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=0．若x1，x2为方程ax2+bx+c=0的两个实数根，则|x21-x22|的取值范围为_____．

Answer 1

解：由于
a＞b＞c，a+b+c=0，x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两实数根，
可得方程ax2+bx+c=0必然有一个实数根为1，且 a＞0，c＜0，b的符号不确定．
故有
a+2b＞0，1＞ba＞-12，0≤|ba|＜1．
不妨设
x1
=1，由根与系数的关系可得 1+x2=-ba，x2=ca＜0，且对称轴为
x=-b2a∈（-12，14）．
由|x12-x22|=|（x1+x2）•（x1-x2）|=|ba|•|x1-x2|=|ba|•|1-x2
|可得，
当|ba|=0时，|x12-x22|=|ba|•|1-x2
|的最小值等于0．
再由|1-x2
|=2|1-（-b2a）|=2|（1+b2a）|≤2+|ba|＜2+1=3，
故|ba|•|1-x2
|＜1×3=3．
故|x12-x22|的取值范围为[0，3），
故答案为：[0，3）．