Question

如图,d是三角形abc的边ab上的一点,e是bc的延长线上一点,ce=ad

三角形abc中,点d在边ab上,点e在bc的延长线上,且ad=ce,连接de交ac于点f.求证:(1)ef:fd=ab:bc(2)be:db=fa:cf

Answer 1

（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵DG⊥AC，∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，∴AG=1/2AD。

（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=∠A=60°，∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，∴△ADH是等边三角形，∴DH=AD，∵AD=CE，∴DH=CE，∴△DHF≌△ECF（AAS），∴DF=EF。

等腰三角形性质：

（1）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等。

（2）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

（3）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

（4）三角形的三条高或它们的延长线的交点叫做三角形的垂心。

（5）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。

（6）三角形斜边上的高等于斜边的一半。

Answer 2

(1)过d点作dg//bc交ac于g
          ∴△dgf∽△ecf
          ∴ ef:fd=ce:dg
          ∵ce=ad
          ∵ef:fd=ad:dg
          又△adg∽△abc
          ∴ ad/dg=ab/bc
 
          ∴ ef:fd=ab:bc
 
       (2)过a点作ah//be交ed延长线于h
         ∴ △ahf∽△ecf
         ∴fa:cf=ah:ce
         ∵ce=ad
         ∴fa:cf=ah:ad
         又△ahd∽△bed
         ∴ ah:ad=be:db
 
         ∴be:db=fa:cf