Question

证明函数的极限为零是必须用左极限和右极限来证明还是可以用整个函数来证明？

Answer 1

函数极限可以分成
，而运用ε-δ定义更多的见诸已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
以
的极限为例，f(x) 在点
以A为极限的定义是： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数
，使得当x满足不等式
时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
，那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。
如函数极限的唯一性（若极限存在，则在该点的极限是唯一的）
存在准则
有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。
1.夹逼定理：（1）当
(这是
的去心邻域，有个符号打不出）时，有
成立
（2）
,那么，f(x)极限存在，且等于A
不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。
2.单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。
在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。