Question

请问这道高数极限题我的做法怎么错了呢？

Answer 1

错了——和的极限分解为极限的和时要求至少有一个极限在存在的，而这里分开的两个极限是都是0/0型不定型，所以肯定错了。应该是——

Answer 2

结果是对的。过程。
^e^tanx－e^x＝e^x×[e^(tanx-x)－1]
x→0时，e^zhi(tanx-x)－1等价于tanx－x，设tanx－x是x的k阶无zhuan穷小，则
lim(x→0) (tanx-x)/x^k存在且非零，由洛必达法则
lim(x→0) (tanx-x)/x^k＝lim(x→0) (sinx-xcosx)/(cosx×x^k)＝lim(x→0) (sinx-xcosx)/x^k＝lim(x→0) (xsinx)/(k×x^(k-1))＝lim(x→0) (x×x)/(k×x^(k-1))＝1/k×lim(x→0) x^(3-k)
此极限要存在且非零，则3－k＝0，所以k＝3. 所以，tanx－x是x的3阶无穷小
所以，lim(x→0) [e^tanx－e^x]/x^3＝1/3.
所以，x→0时，e^tanx－e^x是x的 3 阶无穷小