Question

一道高数题追加50分在线等在线采纳？

图一答案的拆分和下图使用条件不矛盾吗，比值不是常数，还能拆分吗。如果图一能拆分，那么图二为什么不能拆分呢

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Answer 1

其实，类似图一这种加减式中的加减数分开代换是不准确的，第一题这样做只是恰好对了，这种极限题可以使用洛必达法，或者麦克劳林展开式。

其中洛必达法是在分子分母同为无穷大或者无穷小的情况下，分子分母同时对X求导，分式的值不变，而麦克劳林展开式几乎是万能的，就是有点麻烦

第一张图中题目的做法

第二张图中的题也可以用麦克劳林展开式做

总之加减法不能直接拆开进行等效无穷小代换。麦克劳林展开式几乎可以解决所有的极限题，而且等效无穷小可以通过麦克劳林展开式证明。

追问

是的，首先感谢你的解答 麦克劳林确实可以解出来。 但是我主要想知道我图片里的那样为什么不对，是错在哪里，主要是想让你解答一下我这个方法的疑问

追答

是关于x阶次的问题
举个极端的例子，分母为二阶，分子为两个式子相减，左边式子是一阶减二阶，右边式子是一阶减三阶，且一阶系数相等。
直接转换的话右边式子是一阶，左边式子也是一阶，转换后结果为零。而用麦克劳林展开的话，就能把二阶的系数体现出来，而不是在之前的转换中消去或者忽略掉

例如x趋于0时（x-sinx)/x^3
sinx用等效无穷小转化的x，那么这样算式子为0，而真正的结果为1/3。
在等效无穷小转换时忽略了sinx中的三阶，五阶等系数，其实这些忽略了的内容是有用的

Answer 2

图二那道题也是可以拆分的。

追问

是，你这种方法对，我是想问我图片上的为什么错呢

Answer 3

图 1 分成两个极限， 两个极限都存在， 是可以分的。
图 2 分成的两个极限都不存在， 是不能这样分的。
图一方法不算错误，但不推荐。还是用泰勒展开或罗比塔法则，不易出错。

追问

我想问图一那题符合图里加减可以换的条件吗

比值是6/X，不是常数呀

追答

比值是(1/6)x，则极限存在，极限为 0， 是常数。符合拆分条件。