1、三角形内角和不一定等于180度三角形内角和不一定等于180度,那是不是我学的是假数学?其实并非如此,三角形内角和180度是欧氏几何下的重要结论,90%以上的人认为三角形内角和180度是不可捍动的。实际上,1826年,在俄罗斯的喀山,数学家罗巴切夫斯基发表了一篇"有违常识"的演讲,他说平行线可以相交,三角形内角之和不等于180度等古怪的定理。当然,这是当时高斯发现但不敢发表的,这确实太有违普通大众的认知。而罗巴切夫斯基后来遭到攻击和嘲讽,晚年连大学教职都被剥夺了。
实际上,欧氏几何里五条公设中,第五条一直在数学界存疑,但始终证明或者证伪。由第五条公设引发的争议一直就没有停止过,罗巴切夫斯基干脆将第五条公设改掉,新的公设与前四个公设竟然还是相容的,由此产生了一个全新的几何体系,这就是非欧几何,他的独立称为罗氏几何,在罗氏几何背景下,三角形内角和小于180度的。
与罗氏几何对应的黎曼几何也属于非欧几何,当然黎曼是完全颠覆了欧氏几何的五条公设,在黎曼几何的背景下,三角形内角和是大于180度的。三角形内角和180度,这个在欧氏几何背景下才成立,三角形内角和不等于180度,没有掌握专业的数学知识,还真不一定会相信!
2、整数与偶数的数量相等整数如1,2,3,4,5,6,7,8,9......而偶数2,4,6,8,10,12,14,16,18......两个偶数之间还有一个整数,例如2和4之间还有一个3,4和6中间还有一个5,很明显整数的个数比偶数多,这是平常人对数字多少的理解,这种理解方式在多数背景下是没有问题的,然而我要说整数与偶数个数一样多,多数人一定是不会相信的,接下来看我的不完全证明:
有哪些数学上的事实,没有一定数学知识的人不会相信?从对应的角度看,一个整数都会对应一个偶数,1——2,2——4,3——6,4——8......这样的话每出现一个整数,总会出现一个偶数,整数与偶数是一一对应的,所以它们的个数是相等的。从这个角度来讲,整数与偶数的个数是相等的。当然,这个证明方法表面上看没有问题,就像上述证明整数比偶数多一样,并不科学的。我再举一个例子说明一一对应证明个数相同并不科学。
从三角形的顶点分别作射线,分别与AB、CD相交,相交的点则是一一对应的,AB和CD上的点的个数是相同的,那AB=CD,而实际上AB和CD明显不相等,所以用一一对应相等去证明个数相等或者线段相等都是不科学的。
而实际上,初等数学到高等数学的本质区别在于有限与无限研究。初等数学中,"有限"背景下讨论的很多方法是符合人们的常规认知的,但是在"无限"背景下,这些常规的方法并不适用。必须得引入新的定义才能说清楚,否则就会陷入逻辑矛盾。就像整数与偶数的个数,其实数学上并不是用简单的个数来衡量,而是由集合论中集合的势来说明集合元素的个数。