Question

一道关于函数的数学题~求数学帝解答

已知函数f(x)=log4(4^x+1)-1/2x是偶函数，g(x)=log4(a2^x-4a/3)，若f(x)与g(x)的图像只有一个公共点，求a的取值范围
抱歉。。忘记讲了。。答案是{-3}，（1，正无穷）

Answer 1

根据题意，有两种情况：
1.在定义域内f(x)=g(x)只有一个解,即f(x)-g(x)=0只有一个解
所以log4(4^x+1)-1/2x-log4(a*2^x-4/3a)=0
得log4[(4^x+1)/(a*2^x-4/3a)]=1/2x
4^(1/2x)=(4^x+1) / (a*2^x-4/3a)
2^x=[2^(2x)+1] / (a*2^x-4/3a)
(a*2^x-4/3a)*2^x=2^(2x)+1
整理得(a-1)* (2^x)^2 -4/3a*（2^x）-1=0有一个解
当a=1时，-4/3*（2^x）-1=0，得到2^x=-3/4<0，故a≠1
设2^x=t，则(a-1)* t^2 -4/3a*t-1=0有一个解，△即b^2-4ac=0
则（-4/3a）^2+4(a-1)=0
整理得4a^2+9a-9=0
解得a=-3或a=3/4
a=3/4时，t=-1/2，故舍去。

2.在实数内f(x)=g(x)有两个解，但其中一个解不在定义域内。
(a-1)* t^2 -4/3a*t-1=0有两个解,4a^2+9a-9>0，得a<-3或a>3/4
g(x)=log4(a2^x-4a/3)，当a>0时，需使2^x>4/3，即t>4/3;a<0时，需使0<t<4/3。
在f(t)=(a-1)* t^2 -4a/3*t-1中，f(4/3)=-41/9<0，f(0)=-1<0;
t=2a/3(a-1）时，f(t)取得极值。
故当a>1时，f(t)为开口向上抛物线，且f(4/3)<0，抛物线与t轴有且只有一个大于4/3的交点；
当3/4<a<1时，f(t)开口向下，f(4/3)<f(0)<0，2a/3(a-1）<0，故抛物线与t轴的两个交点都小于4/3。此解与t>4/3矛盾，故不成立，舍去；
当a<-3时，f(t)开口向下，f(4/3)<f(0)<0，2a/3(a-1）>0，故抛物线与t轴有两个交点，0<t2<t1<4/3。与题意只有一个交点矛盾，故也舍去。

综上，a的取值范围为a=-3或a>1

以上。

PS:这个数学帝当起来真麻烦啊！！！

Answer 2

log4(4^x+1)-1/2x= log4(a2^x-4a/3)
（4^x+1）/4^(1/2x)=a*2^x-4a/3
（此时不需要考虑a*2^x-4a/3的正负（4^x+1）/4^(1/2x)=a*2^x-4a/3一定为正）
(4^x+1)/2^x=2^x+1/2^x=a*2^x-4a/3
令t=2^x,
f(x)与g(x)的图像只有一个公共点
即(4^x+1)/2^x=2^x+1/2^x=a*2^x-4a/3仅有一解，
也就是(1-a)t^2+4a/3*t+1=0仅有一正根。令f(t)= (1-a)t^2-4a/3*t+1
则f(t)=0可能有一正一负根或两相等正根。
一正一负根，x1*x2=1/(1-a)<0(此时不需要△>0, x1*x2=1/(1-a)<0一定能推出△>0)，a>1;
两正根：△=0,推出a=-3,a=3/4；a=-3,t=1/2;a=3/4,t=-2;（舍去）
综上，a>1或a=-3;

Answer 3

先将f(x)化简：
f(x)=log4(4^x+1)-log4(4^x/2)
=log4(4^x+1)-log4(2^x)
=log4(2^x+2^-x)
然后就好做了吧
2^x+2^-x=a2^x-4a/3
然后可以换元
令t=2^x
当a＞0时，t＞4/3
当a＜0时，0＜t＜4/3
t+1/t=at-4a/3
(1-a)t^2+4at/3+1=0
t只能有一个值在定义域内
所以首先a=1不成立，此时要注意解得的t值是否在范围内

然后是对a＜0，0＜a＜1，a＞1是分别进行讨论
具体过程我不写了，直接给答案
结果就是a＞1

额，貌似算漏了一个，当a＜0而判别式有等于0时，a=-3,此时t=1/2符合
故最后结果是a=3或a＞1

Answer 4

f(x)=log4(4^x+1)-1/2x=f(x)
解得x=+1或者-1，求出此时f（x）=log4(5)-0.5
当x=1，令g(x)=log4(5)-0.5,a=15/4
当x=-1，同理得a=-3

Answer 5

f(x)=log4(4^x+1)-1/2x不是偶函数