Question

请问这道考研数学函数极限题目，划线部分是怎么推导过去的，看不懂，求大佬解释

Answer 1

化为幂指型，再利用等价无穷小代换。

Answer 2

第一条“——”处是利用恒等变形变化的；第二条“——”处是利用等价无穷小量替换得到的。其详细过程是，a>0，n→∞时，a^(1/n)→1，∴a^(1/n)-1→0。同理，b^(1/n)-1→0，c^(1/n)-1→0，∴a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3→0。
∴{1+[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]/3}^n=e^{nln[[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]/3]}。
而，x→0时，ln(1+x)~x。令x=[a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)-3]/3即可得。
分享另一种解法，利用“等价无穷小量替换”+“基本极限公式”求解。∵a>0，n→∞时，(1/n)→0，∴a^(1/n)=e^[(1/n)lna]~1+(1/n)lna。同理，b^(1/n)~1+(1/n)lnb，c^(1/n)~1+(1/n)lnc。∴a^(1/n)+b^(1/n)+c^(1/n)~1+(1/n)[ln(abc)]/3。
∴原式=lim(n→∞){1+(1/n)[ln(abc)]/3}^n=e^[(1/3)ln(abc)]=(abc)^(1/3)。

Answer 3

lim(n->无穷) [ 1+  (1/3)(a^(1/n) + b^(1/n) + c^(1/n) -3 ) ]^n

y->0+

a^y = 1+ (lna)y +o(y)

b^y = 1+ (lnb)y +o(y)

c^y = 1+ (lnc)y +o(y)

 (1/3)(a^y + b^y + c^y -3 ) =(1/3)[ln(abc)] y + o(y)

consider

lim(x->无穷) [ 1+  (1/3)(a^(1/x) + b^(1/x) + c^(1/x) -3 ) ]^x

y=1/x

lim(y->0+) [ 1+  (1/3)(a^y + b^y + c^y -3 ) ]^(1/y)

=lim(y->0+) [ 1+  (1/3)[ln(abc)] y  ]^(1/y)

=e^{ (1/3)[ln(abc)] }

=(abc)^(1/3)