Question

∫⁶₋₆√36-x²等于多少？

Answer 1

这是一个关于半径为6的圆在第三象限下方的一个四分之一圆内部的面积问题。可以使用极坐标来解决。
首先，将函数转换成极坐标形式：
x² + y² = 36
r²cos²θ + r²sin²θ = 36
r²(cos²θ + sin²θ) = 36
r = 6
因此，在第三象限下方的四分之一圆内部，半径为6。
接下来计算该区域的面积。由于是四分之一圆，所以需要除以4，并且要乘上对应角度范围内的弧长比例。在第三象限下方，角度范围为90°到180°。
∫⁶₋₆√36-x² dx dy
= ∫₀^(π/2) ∫₀^6 r dr dθ (因为只考虑1/4个)
= (∫₀^(π/2) dθ) *= (π/2) * (∫₀^6 r dr)
= (π/2) * [(1/2)r²] from 0 to 6
= (π/2) * [(1/2)(6²)]
= 9π
因此，∫⁶₋₆√36-x²等于9π。