Question

459÷一个整十数，商是一位数，余数是九，如果除数是两位数，可以是几？

Answer 1

设除数为x，则被除数为 10q + 9，其中q为一个整数。根据题意，有：

(10q + 9) ÷ x = 10a + b

其中a和b都是一位数，且b为9（余数为九）。将x写成10a + b的形式，有：

(10q + 9) ÷ (10a + b) = 10a + 9

移项得：

10q + 9 = (10a + b) × (10a + 9)

展开右边的式子，得：

10q + 9 = 100a² + (10b + 90)a + 9b

因为 10q + 9 除以 x 有余数，所以x不能整除10q，因此a不等于0，所以右边的式子可以简化为：

10q + 9 = 100a² + 90a + 9b

两边同时除以9，得：

(q + 1) = 10a² + 10a + b

因为商是一位数，所以q+1< 10，即q < 9。因为a和b都是一位数，所以它们的平方和乘积均不超过100，因此有：

10a² + 10a + b < 100

最小的 q 使得上式成立，是 q=4，此时

10a² + 10a + b = 5×22

可以推算出 a = 2，b = 1 或 7。

因此，除数可以是22或72。