Question

初三数学竞赛

如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB上，点N在AC边上，并且角MDN=90，如果BM^2+CN^2=DM^2+DN^2.
求证：AD^2=(1/4)(AB^2+AC^2)
需要解题过程，谢谢。

Answer 1

延长ND到E使得DE=DN,
根据D是BC的中点，DE=DN，可证△BED全等于△CND（SAS）
得∠DBE=∠C，BE=CN.
因为∠MDN=90°
所以∠MDE=90°
所以DM^2+DN^2=DM^2+DE^2=ME^2
因为BM^2+CN^2=DM^2+DN^2
所以BM^2+BE^2=BM^2+CN^2=DM^2+DN^2=DM^2+DE^2=ME^2
即BM^2+BE^2=ME^2
所以∠MBE=90°
所以∠MBD+∠DBE=90°
所以∠MBD+∠C=90°
因为∠BAC+∠MBD+∠C=90°
所以∠BAC=90°
所以 AB^2+AC^2=BC^2,BC=2AD(在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）
所以AB^2+AC^2=（2AD）^2=4AD^2
即AD^2=1/4(AB^2+AC^2)