Question

一道数学题目，急

函数f (x) 对一切实数x ,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1) 成立，且f(1)＝0。是否存在实数a,b使得函数f[x]在[a,b]上的值域为[3a-2.3b-2]，若存在，求出a.b。若不存在说明理由

Answer 1

解：
令x+y=1,则y=1-x
因为函数f (x) 对一切实数x ,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)
即f(1)-f(y)=(1-Y)(1-y+2y+1)
因此：f（y）=(y-1)(y+2)=（y+1/2)^2-9/4，
最小值为-9/4，
所以3a-2>-9/4,a>-1/12,
所以 b>a>-1/12
因此在区间[a,b]上f（x）最小值为f（a）=(a-1)(a+2)=3a-2解得a=0或a=2，带入最大值f（b）解得b=0或2
因为a<b
所以a=0，b=2
所以存在a，b使得函数f[x]在[a,b]上的值域为[3a-2.3b-2]