Question

1/1+x^4不定积分是?

Answer 1

∫ dx/[x(1+x⁴)]。

令u=x⁴,du=4x³ dx。

原式= ∫ 1/[x*(1+u)] * du/(4x³)。

= (1/4)∫ 1/[u(u+1)] du。

= (1/4)∫ (u+1-u)/[u(u+1)] du。

= (1/4)∫ [1/u - 1/(u+1)] du。

= (1/4)(ln|u| - ln|u+1|) + C。

= (1/4)ln|x^4| - (1/4)ln|x^4+1| + C。

= ln|x| - (1/4)ln(x^4+1) + C。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。