Question

柯西收敛准则是什么？

Answer 1

柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。

柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项级数每个方面都对应一个柯西准则，因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。

柯西收敛准则正确性证明：

充分性证明:

首先证明Cauchy列有界。

取ε=1,根据Cauchy列定义，存在自然数N，对一切n>N，有Ia(n)-a(N+1)I<1。

令M=max{|a(1)|,|a(2)|，…，|a(N)|，|a(N+1)|+1}。

则对一切n，成立|a(n)|≤M。

所以Cauchy列有界。