Question

不等式x^2+px+2＞2x+p

（1）当x∈（1，正无穷大）恒成立，求p的范围
（2）x∈【-2,2】恒成立，求p的范围
(3)p∈【-2,2】恒成立，求x的范围

Answer 1

设F(x)=x^2+(P-2)x+2-P
故F(x)为开口向上，对称轴为x=(2-P)/2的抛物线
△=（P-2）^2-4(2-P)=P^2-4
F(1)=1

(1)△<0时,F(x)>0，解得 -2<P<2;
△>0时,P>2或P<-2,
又因为F(1)>0，故(2-P)/2<1时，F(x)>0（x∈（1，+∞），解得P>2
所以不等式在x∈（1，+∞）恒成立时，-2<P<2或P>2

(2)F(2)=P+2，F(-2)=10-3P
若F(-2)>F(2)>0,且(2-P)/2>2时，F(x)>0，无解；
若0<F(-2)<F(2),且(2-P)/2<-2时，F(x)>0，无解
所以不等式在x∈【-2,2】恒成立时，-2<P<2

（3）p∈【-2,2】时，△<=0，
P=-2时，F(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2>0,解得x≠2
P=2时，F(x)=x^2>0,解得x≠0
所以不等式在P∈【-2,2】恒成立时，x≠0，x≠2

Answer 2

因为x^2+px+2＞2x+p
所以x^2-2x+2>p-px
(x-1)^2+1>-p(x-1)
因为x∈（1，正无穷大）恒成立
x-1>0
p>-[(x-1)+1/(x-1)]
(x-1)+1/(x-1)>=2(x-1)*1/(x-1)=2
当x-1=1/x-1时，x=2时等号成立。
所以-[(x-1)+1/(x-1)]<=-2
p>-2
(2)x∈【-2,2】恒成立。令f（x）=(x-1)+1/(x-1）
f'(x)=1-1/(x-1)^2=0
解得x1=0，x2=2
所以f（x）的单调增区间为x<0和x>=2.
减区间为【0，1）和（1，2）
x∈（1，2]时。p>-[(x-1)+1/(x-1）]=-f(x)
2=f(2) =<f(x)<f(1)
f（1）趋于无穷大。
所以p>-2
x=1时。不等式变为1+p+2>2+p 恒成立
当x∈（-2，1）。x^2-2x+2>p-px
(x-1)^2+1>-p(x-1)
p<-[(x-1)+1/(x-1)]
所以p<2
综合。三种情况求并集得p得范围（-2，2）
（3）由一问可得x∈（1，正无穷大）
p>-[(x-1)+1/(x-1)]
p>-2此时p∈（-2,2】都恒成立
当x∈（负无穷大，1） 由二问可知p<2
此时p∈[-2,2)都恒成立
当p=-2时。x^2-2x+2>2x-2
(x-2)^2>0只需x不等于2
当p=2时，x^2+2x+2>2x+2 只需x不等于0
当x=1时 p∈【-2,2】恒成立
所以x的范围是不等于0和不等于2