Question

无穷级数（一）

Answer 1

引言

直到今天，无穷级数仍被认为是微积分的一部分，因为一开始人们处理复杂函数时，是先展开成无穷级数再逐项微分或积分。18世纪的数学家大量使用无穷级数，尽管他们没意识到其中存在的问题。

无穷级数的早期工作

无穷级数很早就出现了，例如亚里士多德就意识到公比小于1的无穷几何级数存在一定的和。中世纪后期的数学家也用过无穷级数计算变速物体的运动距离。韦达在1593年给出了一个无穷几何级数的求和公式，1647年Gregory of Saint-Vincent证明阿喀琉斯追龟的悖论可用无穷几何级数求和解决，和是有限的，因此阿喀琉斯可以在一个确定的时间、地点追到乌龟，他第一次指出无穷级数表示一个数（级数和），他称这个数为级数的极限。

牛顿等人给出了sinx,cosx,arcsinx,tgx,secx的级数，用级数研究超越函数是牛顿和莱布尼茨微积分工作的一个重要部分。这些人为了得到级数，也不管这样处理会有啥问题，也没有证明二项式定理。

除了微积分外，级数还用来求一些特殊的量，如π和e，但有的级数收敛很慢，对计算没有任何帮助，如莱布尼茨1674年得到：π/4=1-1/3+1/5-1/7……如果要用来计算π，算到阿基米德计算的精度都要算足足十万项，因此18世纪有很多人研究把级数变换成另一个收敛较快的级数，欧拉也给过一个变换。

牛顿发明了级数的一个应用。给定隐函数f(x,y)=0，把y表示成x的显函数，可能会有好几个显函数解，每个y都要表示成x的无穷级数。牛顿在《流数法》中发表了决定显函数解级数形式的方法，事实上牛顿只给出了一些特殊例子求级数的前几个指数和系数。泰勒、斯特林、麦克劳林均给出了一些法则，麦克劳林还试图推广、证明这些法则，但未成功。

函数的展开

17世纪后期到18世纪，航海、天文、地理学的发展要求三角函数、对数函数、航海表的插值有较大精确度。沃利斯提出了插值一词，插值的常用方法是线性插值法：假设在两个已知值之间，函数是自变量的线性函数，但问题是函数往往是非线性的，推动数学家去研究更好的插值法。

有限差方法由布里格斯引入，关键公式由詹姆斯格雷果里给出，牛顿也独立给出该公式。假设f(x)是一个函数，在a,a+c,a+2c,....,a+nc上的值已知，则有：

要计算任意x处的值，只需要让h=x-a，这样计算的未必是函数真值，而是一个多项式的值，在特殊点a,a+c,a+2c,....,a+nc上的值和函数真值相同。这个公式还可以用来逼近积分。

泰勒将这个公式推广用于展开函数成无穷级数，因为泰勒是英国人，发表定理的时候还赞美了下牛顿，无视了莱布尼茨也做过相关研究（前文说过牛莱引发了两岸矛盾）。格雷果里和莱布尼茨都发现过这个定理，但是都没发表；约翰伯努利发表过，但没有被泰勒引用（搞研究也要点运气，你也不知道啥东西会被写进几百年后的教科书）。泰勒的做法相当于把c变成Δx，然后就是我们熟悉的泰勒公式：

a=0时就是麦克劳林公式，不知怎么给他白拣到了，斯特林也给出了这个特殊情形，但是啥也没捞着。他们都没有考虑收敛问题，反正能用就行。