Question

解题高手来：在三角形ABC中，求证：cosA+cosB+cosC≤3/2

在三角形ABC中，求证：cosA+cosB+cosC≤3/2
不要看视简单，我用向量法之复杂，问下高手是如何解出来的，谢谢！

Answer 1

此题方法很多
最简单可能是用欧拉定理来做
直接运用恒等式:
cosA+cosB+cosC=1+r/R
和欧拉不等式R>=2r
就行了

其他方法易于理解
我记得有好多种
证明一 （逐步调整法）由和差化积公式得
cosA+cosB+cosC+cos(π/3)
=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+2cos[(C+π/3)/2]cos[(C-π/3)/2]
<=2{cos[(A+B)/2]+cos[(C+π/3)/2]}
=4cos[(A+B+C+π/3)/4]cos[(A+B-C-π/3)/4]
<=4cos[(A+B+C+π/3)/4]
=4cos[(π+π/3)/4]
=4cos(π/3),
所以 cosA+cosB+cosC<=3cos(π/3)=3/2.

注：仿上可证：sinA+sinB+sinC<=3√3/2

证明二 (一元化方法)
cosA+cosB+cosC=cosA+2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]
<=cosA+2cos[(B+C)/2]
=1-2[sin(A/2)]^2+2sin(A/2)
=-2[(sin(A/2)-1/2]^2+3/2
<=3/2

证明三 (配方法)
cosA+cosB+cosC=<3/2
<==>(1-cosA-cosB)^2+(sinA-sinB)^2>=0

注：一般地，在三角形ABC中，对于任意实数x,y,z,有如下著名的“三角形嵌入不等式”：
x^2+y^2+z^2>=2yzcosA+2zxcosB+2xycosC. (*)

证明：(*)<==>(z-ycosA-xcosB))^2+(ysinA-xcosB)^2>=0

特别地，在(*)式中，取x=y=z=1,即得
cosA+cosB+cosC=<3/2 (1)
在(*)式中，取A=B=C=π/3,即得
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx (2)
因此，不等式(*)是两个常用不等式(1),(2)的联合推广.

Answer 2

楼上太麻烦了....
(cosA+cosB+cosC)/3<=三次根号cosAcosBcosC
当且仅当cosA=cosB=cosC时取等
所以A=B=C=π/3
所以
(cosA+cosB+cosC)/3<=三次根号1/2*1/2*1/2
(cosA+cosB+cosC)/3<=1/2
(cosA+cosB+cosC)/3<=3/2
这叫柯西不等式定理

Answer 3

同意用柯西不等式，高一数学书上有个无盖方盒的最大容积问题(铁皮四个角各减去一个小正方形)，就是用(a+b+c)/3>=(abc)^1/3

Answer 4

利用余弦定理即可解决