大学课程中的《拓扑学》，都包含了哪些内容？
说到拓扑学，肯定是离不开泛函分析的兴起，特别是其中对于希尔伯特空间和班纳赫空间的建立，促进了点集作为空间的研究。数学分析的核心问题是极限，而收敛性和连续性是极限的基本问题。为了将收敛性和连续性的研究扩展到一般集合，有必要描述一般集合上的点或集合的“邻近性”概念。“距离”可以用来描述“接近”，但“距离”不一定与“接近”有关。
其实在高等数学中学过的“邻域”，我们也是需要用拓扑学来定义拓扑，对于非空集X，规定X的每个点都有一个子集族，由包含该点的子集组成，该子集族满足一组邻域公理（即通过模仿欧几里德空间领域的特征而给出的一组属性）。
子集族中的每个集合称为该点的一个邻域。这给出了一个X的拓扑，与这个拓扑相连的X称为拓扑空间。X的每个点都有一个邻域，因此可以研究点的邻域。因此，可以通过模仿微积分的方法来定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念。如果一个映射是连续的，并且存在一个逆映射，并且逆映射也是连续的，则称为同胚映射。两个具有同胚映射的拓扑空间称为同胚（直观地说，这两个空间的对应图形从一个连续地形变为另一个）。
为了证明两个空间的同胚性，我们只需要找到它们之间的同胚映射。在欧几里德线上，作为一个子空间，两个任意闭区间同胚；任意两个开区间同胚；半开半闭区间[C，D]与[a，b]同胚。点s2-p从二维球体中挖掘出来，与欧几里德平面K2同胚。为了证明两个拓扑空间是不同的，有必要证明它们之间不存在同胚映射。
该方法是寻找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；如果第一个空间有同胚不变量，而另一个空间没有，那么这两个空间是不同的。一般拓扑中常见的拓扑不变性包括连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等（参见拓扑空间）。
所以拓扑学其实就是包含了集合论、图论和泛函分析的内容，也算是一个综合学科，所以要打好基础才会变得更加的简单。
