Question

信号与系统

Answer 1

信号与系统

whye

可以用函数表示的信号

不能用确定的函数表示，只能知道它的统计学性质。

连续信号通过取样成为离散信号

离散-》连续：零阶保持/分段线性

定义域是连续的

如果函数值也连续，则称为模拟信号

定义域是离散的

取值离散时称为数字信号

对于定义点等间隔的称为序列，其中自变量k称为序号。离散时间信号记f(kT)，也做f(k)

两个周期信号合成后是否是周期信号

如果信号的周期之比T1/T2都是有理数，那么合成信号周期为子信号的最小公倍数。如果多个信号

如果信号周期之比是无理数，则合成信号是非周期信号。

判断离散信号是否是周期信号：判断相应连续函数周期是否为有理数

周期序列之和一定是周期序列

将信号f(t)施加在1欧姆电阻上，他所消耗的瞬时功率为|f(t)|的平方，定义能量和平均功率信号为

能量有限信号：E<无穷 P=0

功率有限信号：p<无穷 E=无穷

因果信号：t=0时接入信号，即t<0时f(t)<0

反因果信号：t>=0时，f(t)=0的信号（除0信号）

t>0时为1称为单位阶跃函数

阶跃函数的导数

高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。高度用（1）表示。

冲激函数可以描述断点处的导数，称为奇异函数

冲激函数在广义函数中的定义

冲激函数\sigma(t)作用与检验函数\psi(t)的结果是赋值为\psi(0)， 称为冲激函数的取样性质，即

注意积分区间是否包含积分时刻t=0

同理有

y=f(t)，将一维实数空间的数t经过f所规定的运算映射为一维实数空间的数y。

选择一类性能良好的函数\psi(t)作为检验函数（相当于自变量），一个广义函数g(t)对检验函数空间中的每个函数\psi(t)赋予一个数值N的映射，记

\sigma'(t)称为冲激偶

\sigma'(t)的定义

为什么用上面推导的式子积分结果比定义式多了一项，因为\sigma(t)是偶函数，他的导数\sigma'(t)是一个奇函数，在0的对称区间上积分为0

同理有

对n阶导数的推广

注意，冲激函数的尺度变化时，冲击强度也要变化

一般的，有

同理有

和信号类似

注意节约序列k=0是取值为1

同一t和k进行加减乘

由f(t)得到f(-t)

以y轴为对称轴做镜像处理

注意平移和反转都是对变量t进行操作

信号定义：由若干相关事物组合而成具有特定功能的整体。

给定一个输入（激励），产生一个输出（响应）

系统的作用：将激励进行加工和处理，产生需要的输出。

集中参数系统：电路尺寸<<波长

分布参数系统：电路尺寸与波长相近，如微波线路

系统的状态：可能会被过去的输入所影响。由状态和输入就可以产生输出。

输入和状态都会对输出产生响应，因此有了零输入响应、零状态响应和全响应。

线性：齐次性、可加性

记忆系统：响应会被过去的状态影响的系统

对于一个即时系统，可由上面的方式判断是否线性，对于一个记忆系统，可将其分为零状态和零输入

注意f代表激励，x代表状态，t代表时间

动态系统的线性判断：

时不变系统：输入延迟多久，那么输出也延迟多久，即系统不随时间改变

例

理解 f是输入，t是时间 是关键。

简单判断方式：

如果在输入前出现变系数，或者时间上存在反转、展缩变换，那么为时变系统。

线性时不变系统称为LTI系统

微分特性

积分特性：

因果系统：零状态响应不会出现在响应的激励之前的系统

例

非因果系统：零状态响应会出现在响应的激励之前的系统，即响应为未来的激励

例

例

注意因果系统中，要在结果中乘上\xi(t)。

加法器、乘法器、积分器

：齐次解+特解

齐次解由系统本身的性质确定与输入的激励无关，称为自由响应/固定响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。

和输入没关系，由状态产生，因此y_zi(0+)=y(0-),f(t)=0,求零输入响应也就是求状态为y(0-)的齐次解，解出零输入响应后要注明t>0。

和状态无关，即y_zs(0-)=y_zs'(t)=0，再求经典解即可。同样注明t>0，使\sigma(t)=0，\xi(t)=1

h(t),由单位冲激信号产生的零状态响应

g(t),由单位阶跃信号产生的零状态响应

信号分解：将f(t)分解为基本信号的组合

卷积：将普通信号分割为无穷份，再积分

卷积积分的严格定义

卷积图解法

信号正交的定义

若n个函数在(t_1,t_2)区间内任意两个函数都正交，则称此函数集为区间(t_1,t_2)上的正交函数集。

若一个正交函数集中的任意一个函数与自身的内积为1，则称该函数集为标准正交函数集。

在一个正交函数集外，不存在一个不为0的函数满足该函数与该函数集中任意一个函数正交，则称这个函数集为完备正交函数集。

振幅/相位在频率上的函数，称为振幅谱/相位谱，自变量为

三角形式中的n取值为n>0，那么频谱图分布在正半轴，称为单边谱，指数形式中n取值为负无穷到正无穷，称为双边谱