Question

设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1过点M(根号2,1),且焦点为F（-根号2，0）

当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A,B时，在线段AB上取点Q，满足AP向量×QB向量=AQ向量×PB向量，证明：点Q总在某定直线上

Answer 1

椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过点M(√2,1),且左焦点为F1(-√2,0)
A.求椭圆C方程;
B.当过点P(4,1)的动直线L与椭圆C相交于两不同点A,B时，在线段AB上取点Q，满足|AP||QB|=|AQ||PB|，证明：点Q总在某定直线上。

左焦点为F1(-√2,0)--->c²=a²-b²=2
椭圆过点M(√2,1)----->2/a²+1/b²=1
联立--->a²=4,b²=2--->椭圆C方程: x²/4+y²/2=1

设A(x1,y1), B(x2,y2), Q(X,Y)
|AP||QB|=|AQ||PB|--->|AP|/|PB|=|AQ|/|QB|(设比值=λ＞0)
又B、Q、A、P共线且P在椭圆外--->AP/PB=-λ，AQ/QB=λ
定比分点公式：(x1-λx2)/(1-λ)=4，(y1-λy2)/(1-λ)=1
(x1+λx2)/(1+λ)=X，(y1+λy2)/(1+λ)=Y
分别相乘：4X=(x1²-λ²x2²)/(1-λ²)，Y=(y1²-λ²y2²)/(1-λ²)
又A,B在椭圆上--->x1²+2y1²=4，x1²+2y1²=4
--->4X+2Y = [(x1²+2y1²)-λ²(x2²+2y2²)]/(1-λ²) = 4
--->Q(X,Y) 在定直线 2X+Y=2 上