Question

设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dad+abc),求证ac=bd

Answer 1

将等式右侧的乘积进行展开，得到：(a+b+c+d)(bcd+cda+dad+abc) = abcd + ab^2c + ac^2d + bcd^2 + abcd + acd^2 + ad^2b + abc^2 + abcd + bcd^2 + acd^2 + ab^2d + abcd + ad^2c + abc^2 + ac^2d合并同类项，化简后得到：2(abcd + ab^2c + ac^2d + bcd^2 + acd^2 + ad^2b + abc^2 + ab^2d + ad^2c + ac^2d) = (a+b+c+d)(bcd+cda+dad+abc)将等式左侧因式分解为(a+b)(c+d)(ad+bc)的形式，得到：2(a+b)(c+d)(ad+bc) = (a+b+c+d)(bcd+cda+dad+abc)移项化简，得到：ad-bc = 1/2(a-c)(b-d)由于等式左侧的乘积等于等式右侧的乘积，因此：(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) = (a+b+c+d)(bcd+cda+dad+abc)即(a+c)(b+d)(ac+bd)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dad+abc)将ad-bc的表达式代入上式，化简后得到：(a-c)(b-d)(ac+bd) = 0由于(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≠ 0，因此可以得到：a-c=0 或 b-d=0 或 ac+bd=0若a=c，则ac=cc=c²=(a+b+c+d)²/16-2bcd=(a+b+c+d)/4-bcd，同理，若b=d，则bd=(a+b+c+d)/4-ac，因此ac=bd。若ac+bd=0，则(a+b)(c+d)=0，不妨设a+b=0，则c+d=0，进而a+d=0，b+c=0，即a=-b，c=-d，因此ac=bd。综上所述，可得到ac=bd。

Answer 2

题目：已知（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）=（a+b+c+d）（bcd+cda+dab+abc）,求证ac=bd令 a+b=p,c+d=q,由条件化为 pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),展开整理得 cdp2-(ac+bd)pq+abq2=0,即(cp-bq)(dp-aq)=0.于是 cp=bq 或 d...